Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Représentations matricielles

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Représentations matricielles On pose ε =e +e , ε =e +e et ε =e +e +e .1 1 3 2 1 2 3 1 2 3 0a) Montrer queB = (ε ,ε ,ε ) forme une base de E et déterminer la matrice de1 2 3 0f dansB .Exercice 1 [ 00714 ] [correction] nb) Calculer A .Soient A = (a ) ∈M (R) aveci,j n+116i,j6n+1 ! j− 1 i−1 a = =Ci,j Exercice 5 Centrale MP [ 02380 ] [correction]j−1 i− 1 n n nQuels sont les f∈L(R ) telles que f(Z ) =Z ? et ϕ∈L(R [X]) canoniquement représenté par A.n a) Exprimer ϕ(P ) pour tout P∈R [X].n m Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02679 ] [correction]b) Calculer A pour tout m∈N. 2 2 2 −1 Soient f,g∈L(R ) tel que f =g = 0 et f◦g =g◦f. Calculer f◦g.c) A . Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02688 ] [correction]Exercice 2 [ 00715 ] [correction] ? Soit ω une racine primitive nème de 1. On poseSoient a∈C et f :C→C définie par f(z) =z +az¯. Former la matrice de l’endomorphisme f duR-espace vectorielC dans la base n−1X1 k k(1,i). F (P ) =√ P (ω )Xω nDéterminer image et noyau de f. k=0 pour tout P∈C [X].n−1 Montrer que F est un automorphisme deC [X] et exprimer son inverse.Exercice 3 [ 00717 ] [correction] ω n−1 Soit E unK-espace vectoriel de dimension 3 muni d’une baseB = (e ,e ,e ).1 2 3 Soit f∈L(E) dont la matrice dans la baseB est Exercice 8 Centrale MP [ 03060 ] [correction]  p q0 1 1 Soientn,p etq trois naturels non nuls et deux applications linéaires u∈L(R ,R )   p nA = 0 1 0 et v∈L(R ,R ).