Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Rang d'une matrice

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Rang d’une matrice Exercice 6 [ 02602 ] [correction] Soit A∈M (R) une matrice de rang r.n Déterminer la dimension de l’espaceExercice 1 [ 00701 ] [correction] Soit A∈M (K) une matrice carrée de rang 1.n {B∈M (R)/ABA =O }t n na) Etablir l’existence de colonnes X,Y ∈M (K) vérifiant A =X Y.n,1 2b) En déduire l’existence de λ∈K tel que A =λA. Exercice 7 [ 01602 ] [correction] Soient A,B∈M (K).nExercice 2 [ 00700 ] [correction] 2 a) Justifier qu’il existe U,V ∈ GL (K) tels quenSoit A une matrice carrée de rang 1. Montrer qu’il existe λ∈K tel que A =λA. rg(UA+BV) = min(n,rgA+rgB) Exercice 3 [ 03460 ] [correction] b) On suppose rgA+rgB>n. Montrer qu’il existe U,V ∈ GL (K) tels quen Soit H∈M (C) une matrice de rang 1.n ta) Montrer qu’il existe des matrices U,V ∈M (K) telles que H =U V.n,1 UA+BV ∈ GL (R)n b) En déduire 2H = tr(H)H c) On suppose trH =−1. Montrer que I +H est inversible et Exercice 8 [ 03134 ] [correction]n Soient A,B,C,D∈M (K).n 1−1 a) On note A B ∈M (K) la matrice obtenue en accolant les colonnes de(I +H) =I − H n,2nn n 1+trH B à droite de celles de A. −1 Montrerd) Soient A∈ GL (K) telle que tr(HA ) =−1. Montrer que A+H estn rg A B = rgA⇔∃U∈M (K),B =AUninversible et 1 −1 −1 −1 −1(A+H) =A − A HA A−11+tr(HA ) b) On note ∈M (K) la matrice obtenue en accolant les lignes de C en2n,n C dessous de celles de A.