Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Généralités sur les matrices

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Généralités sur les matrices Exercice 5 Centrale MP [ 02390 ] [correction] Soitn un entier> 2 etA un hyperplan deM (C) stable pour le produit matriciel.n 2a) On suppose que I ∈/A. Montrer, si M ∈A, que M∈A. En déduire que pournExercice 1 [ 00702 ] [correction] 2 tout i∈{1,...,n} que la matrice E est dansA. En déduire une absurdité.i,iRésoudre l’équation X =A où b) On prend n = 2. Montrer queA est isomorphe à l’algèbre des matrices   triangulaires supérieures.1 0 1  A = 0 4 2 0 0 16 Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02687 ] [correction] Soient A,B∈M (R) où B est nilpotente et commute avec A. Montrer que A etn Exercice 2 [ 00703 ] [correction] A+B sont simultanément inversibles. a) Monter qu’une matrice A∈M (K) est non inversible si, et seulement si, ellen est équivalente à une matrice nilpotente. b) Soit f :M (K)→K une application vérifiant : f(O ) = 0, f(I ) = 1 et pourn n n tout A,B∈M (K),n f(AB) =f(A)f(B) Montrer que A∈M (K) est inversible si, et seulement si, f(A) = 0.n Exercice 3 [ 00707 ] [correction] ∞ √P nSoit S(x) = a x le développement en série entière de x7→ 1+x.n n=0 a) Pour N∈N, on pose N +∞X X n nS = a x et R = a xN n N n n=0 n=N+1 2Montrer que (S (x)) −1−x est un polynôme dont la plus petite puissance de xN est de degré>N +1. b) Soit A∈M (C) nilpotente. Justifier l’existence d’une matrice B∈M (C)n n telle que 2B =I +A Exercice 4 [ 00712 ] [correction] Soit D = diag(a ,...