Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Déterminant par blocs

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Déterminant par blocs Exercice 6 Centrale PC [ 00198 ] [correction] Soient B∈M (R) etn I BnExercice 1 [ 03129 ] [correction] A = ∈M (R)2nB InSoient A,B,C,D∈M (K). On suppose que D est inversible et que C et Dn commutent. Etablir a) A quelle condition la matrice A est-elle inversible? A B b) Donner son inverse quand cela est possible.det = det(AD−BC) C D Exercice 7 [ 00713 ] [correction]Exercice 2 [ 03130 ] [correction] On considère une matrice M∈M (K) inversible écrite sous la formenSoient A,B,C,D∈M (K) avec D inversible. Etablirn A BA B −1 M =det = det(AD−BD CD) C DC D avec A∈M (K) et D∈M (K).p n−p Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02694 ] [correction] On écrit la comatrice de M sous une forme analogue Soient A,B,C,D∈M (K) avec AC =CA. Montrer quen 0 0A B comM = 0 0A C C Ddet = det(DA−BC) B D 0 0avec A ∈M (K) et D ∈M (K).p n−p Vérifier Exercice 4 Centrale MP [ 02387 ] [correction] 0 p−1 detA = det(M) detD a) Soient A,B∈M (R). Montrer quen A B det > 0 Exercice 8 [ 03147 ] [correction]−B A Soient A,B,C,D∈M (R).n 2 2 tb) Soient A,B∈M (R) telles que AB =BA. Montrer que det(A +B )> 0.n a) On suppose C D symétrique et D inversible. Montrer que c) Trouver un contre-exemple à b) si A et B ne commutent pas. A Bd) Soient A,B,C,D∈M (R) telles que AC =CA.