Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Calculs par blocs

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calculs par blocs Exercice 6 [ 00747 ] [correction] Soit M∈M (K) une matrice de rang r décomposée par blocs sous la formen Exercice 1 [ 03264 ] [correction] A B Soient A∈M (K) et M =n C D O An B = ∈M (K)2n avec A∈M (K) supposée inversible.rI On n a) Montrer que pour toute colonne Y ∈M (K) il existe une colonnen−r,1 a) Montrer que A est inversible si, et seulement si, B l’est. X∈M (K) telle quer,1 ! !pb) Calculer B pour tout p∈N. 0 Xr M =M Y 0n−r Exercice 2 [ 01604 ] [correction] −1b) En déduire que D =CA B.Soient A∈M (K), B∈M (K) et M la matricen p A On,p M = ∈M (K)n+p O Bp,n Exercice 7 [ 03137 ] [correction] Soient A,B,C,D∈M (K) etnEtablir rgM = rgA+rgB A B M = ∈M (K)2nC D Exercice 3 [ 01649 ] [correction] On suppose que les matrices A,D et M sont inversibles.Soient B∈M (K) et C∈M (K).n,p p −1Exprimer M .Montrer I Bn rg =n+rgC O Cp,n Exercice 8 CCP PC [ 03702 ] [correction] Soit   Exercice 4 [ 02335 ] [correction] 1 −1 0 0  Soient A∈M (K), B∈M (K), C∈M (K) etn p n,p 0 1 0 0 A =  0 0 −1 1 A C M = ∈M (K) 0 0 0 −1n+pO Bp,n nCalculer A pour tout n∈Z. On suppose B inversible. Etablir rgM =p⇔A =On Exercice 5 [ 03101 ] [correction] Soient A∈ GL (R), B∈M (R), C∈M (R) etp p,q q A B M = ∈M (R)p+qO Cq,p Déterminer le rang de M en fonction de celui de C. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.