Sujet : Algèbre, Matrices et déterminants, Calcul de déterminants

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul de déterminants Exercice 5 Centrale MP [ 02386 ] [correction] nQ Soit λ ,...,λ ∈C distincts et P (X) = (X−λ ). Calculer :1 n i i=1Exercice 1 Mines-Ponts MP [ 02693 ] [correction] Calculer P(X) P(X) P(X) ··· X−λ X−λ X−λa +x (x) 1 2 n 1 1 1 ··· 1 . . Δ(X) =. . . . . . . . . . (x) a +xn n−2 n−2 n−2λ λ ··· λ1 2 n où x,a ,...,a réels.1 n Exercice 6 CCP MP [ 00748 ] [correction] 2 Pour (i,j)∈ [1,n] , on considère a ∈R et b ∈R tels que a +b = 0.Exercice 2 [ 00742 ] [correction] i j i j CalculerSoient x ,...,x ∈C. Calculer1 n 1 det [déterminant de Cauchy] 2 n−1 a +b1 x x ··· x1 i j1 1 16i,j6n n−12 1 x x ··· x2 2 2 Traiter en particulier le cas oùV (x ,...,x ) = n 1 n . . . .. . . . . . . . 2 n−1 1 x x ··· xn ∀i∈ [1,n],a =b =i [déterminant de Hilbert]n n i i Exercice 7 [ 00749 ] [correction]Exercice 3 [ 02384 ] [correction] 1Calculer pour a ,...,a ∈K le déterminant suivant1 n Etablir que l’inverse de la matrice H = est à coefficients entiers.i+j−1 16i,j6n n−22 n 1 a a ··· a a1 1 1 1 n−22 n 1 a a ··· a a2 2 2 2 D = n . . . . .. . . . . Exercice 8 X MP [ 00299 ] [correction] . . . . . On pose 2 n−2 n 1 a a ··· a an n n n nP (X) =X −X + 1 (avec n> 2)n a) Montrer que P admet n racines distinctes z ,...,z dansC.