Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Sous-espace vectoriel

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Sous-espace vectoriel Exercice 7 [ 01687 ] [correction] Soit ω∈C. On note ω.R ={ωx|x∈R}. Montrer que ω.R est un sous-espace vectoriel deC vu commeR-espace vectoriel.Exercice 1 [ 01681 ] [correction] 2 A quelle condition ω.R est-il un sous-espace vectoriel de C vu commeC-espaceLes parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R ? vectoriel? 2 2a) (x,y)∈R |x6y b) (x,y)∈R |xy = 0 2 2c) (x,y)∈R |x =y d) (x,y)∈R |x +y = 1 Exercice 8 [ 01688 ] [correction] Soient~u ,...,~u des vecteurs d’unK-espace vectoriel E.1 n Montrer que l’ensemble F ={λ ~u +··· +λ ~u |λ ,...,λ ∈K} est un1 1 n n 1 nExercice 2 [ 01682 ] [correction] 3 sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs ~u ,...,~u .1 nSoient F = (x,y,z)∈R |x +y−z = 0 et G ={(a−b,a +b,a− 3b)|a,b∈R}. 3a) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de R . Exercice 9 [ 01689 ] [correction]b) Déterminer F∩G. Soient E =F(R,R),C l’ensemble des fonctions de E croissantes et Δ ={f−g/f,g∈C}Exercice 3 [ 01683 ] [correction] NLes parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de R ? Montrer que Δ est un sous-espace vectoriel de E.