Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Image et noyau d'un endomorphisme

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Image et noyau d’un endomorphisme Exercice 6 [ 01754 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E vérifiant f◦g = Id; montrer que kerf = ker(g◦f), Img = Im(g◦f) puis que kerf et Img sontExercice 1 [ 01712 ] [correction] supplémentaires.Soient f et g deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E. Montrer que g◦f = 0 si, et seulement si, Imf⊂ kerg. Exercice 7 CCP MP [ 03360 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E surR ouC vérifiant Exercice 2 [ 01713 ] [correction] f◦g = Id. Soient f et g deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E. a) Montrer que ker(g◦f) = kerf et Im(g◦f) = Img. a) Comparer kerf∩kerg et ker(f +g). b) Montrer b) Imf +Img et Im(f +g). E = kerf⊕Img2c) Comparer kerf et kerf . −12d) Imf et Imf . c) Dans quel cas peut-on conclure g =f ? d) Calculer (g◦f)◦(g◦f) et caractériser g◦f Exercice 3 [ 01714 ] [correction] Exercice 8 [ 01717 ] [correction]Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E. Montrer 2 Soient f,g∈L(E) tels quea) Imf∩kerf ={0 }⇔ kerf = kerf .E 2b) E = Imf +kerf⇔ Imf = Imf . g◦f◦g =g et f◦g◦f =f a) Montrer que Imf et kerg sont supplémentaires dans E. Exercice 4 [ 01715 ] [correction] b) Justifier que f(Img) = Imf. Soient E unK-espace vectoriel et f∈L(E) tel que 2 f −3f +2Id = 0 a) Montrer que f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f.