Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Famille libre

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Famille libre Exercice 6 [ 01632 ] [correction] Soit (~x ,...,~x ) une famille libre de vecteurs de E et α ,...,α ∈K.1 n 1 n On poseExercice 1 [ 01627 ] [correction] 3 ~u =α .~x +···+α .~x et∀16i6n,~y =~x +~u1 1 n n i iLes familles suivantes de vecteurs deR sont-elles libres? Si ce n’est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs : A quelle condition sur les α , la famille (~y ,...,~y ) est-elle libre?i 1 n a) (~x ,~x ) avec~x = (1,0,1) et~x = (1,2,2)1 2 1 2 b) (~x ,~x ,~x ) avec~x = (1,0,0),~x = (1,1,0) et~x = (1,1,1)1 2 3 1 2 3 c) (~x ,~x ,~x ) avec~x = (1,2,1),~x = (2,1,−1) et~x = (1,−1,−2)1 2 3 1 2 3 Exercice 7 [ 01633 ] [correction] d) (~x ,~x ,~x ) avec~x = (1,−1,1),~x = (2,−1,3) et~x = (−1,1,−1).1 2 3 1 2 3 Soit (~e ,...,~e ) une famille libre de vecteurs de E.1 p Montrer que pour tout~a∈E\Vect(~e ,...,~e ), la famille (~e +~a,...,~e +~a) est1 p 1 p libre. Exercice 2 [ 01628 ] [correction] On pose f ,f ,f ,f : [0,2π]→R les fonctions définies par :1 2 3 4 f (x) = cosx, f (x) =xcosx, f (x) = sinx et f (x) =xsinx. Exercice 8 X MP [ 02464 ] [correction]1 2 3 4 3Montrer que la famille (f ,f ,f ,f ) est libre. Soit (a,b,c)∈R . Les fonctions x7→ sin(x+a),x7→ sin(x+b) et x7→ sin(x+c)1 2 3 4 sont-elles linéairement indépendantes? Exercice 3 [ 01629 ] [correction] Pour tout entier 06k6n, on pose f :R→R la fonction définie park k.xf (x) = e .