Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels de dimensions finies, Applications linéaires en dimension finie

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Applications linéaires en dimension finie Exercice 1 [ 01653 ] [correction] 3 2Justifier qu’il existe une unique application linéaire deR dansR telle que : f(1,0,0) = (0,1), f(1,1,0) = (1,0) et f(1,1,1) = (1,1). Exprimer f(x,y,z) et déterminer noyau et image de f. Exercice 2 [ 01654 ] [correction] Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie, V un sous-espace vectoriel de E et f∈L(E). Montrer V ⊂f(V)⇒f(V) =V Exercice 3 [ 01655 ] [correction] Soit f∈L(E,F) injective. Montrer que pour tout famille (~x ,...,~x ) de vecteurs1 p de E, on a rg(f(~x ),...,f(~x )) = rg(~x ,...,~x )1 p 1 p Exercice 4 [ 01656 ] [correction] Soit E unK-espace vectoriel de dimension n> 1 et f un endomorphisme pnilpotent non nul de E. Soit p le plus petit entier tel que f = 0. p−1 2 p−1a) Soit~x∈/ kerf . Montrer que la famille (~x,f(~x),f (~x),...,f (~x)) est libre. nb) En déduire que f = 0. Exercice 5 [ 01658 ] [correction] Soient E unK-espace vectoriel et f∈L(E) tel que les vecteurs ~x et f(~x) sont colinéaires et ce pour tout ~x∈E¨. a) Justifier que pour tout ~x∈E, il existe λ ∈K tel que f(~x) =λ .~x.~x ~x b) Montrer que pour tout couple de vecteurs non nuls ~x et ~y, on a λ =λ .~x ~y (indice : on pourra distinguer les cas : (~x,~y) liée ou (~x,~y) libre.) c) Conclure que f est une homothétie vectorielle. Exercice 6 [ 01659 ] [correction] Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie.