Sujet : Algèbre, Espaces vectoriels, Applications linéaires

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Applications linéaires Exercice 7 [ 01709 ] [correction] Soit f une application linéaire d’unK-espace vectoriel E vers unK-espace vectoriel F.Exercice 1 [ 01703 ] [correction] Montrer que pour toute partie A de E, on a f(VectA) = Vectf(A).Les applications entreR-espaces vectoriels suivantes sont-elles linéaires : 3a) f :R →R définie par f(x,y,z) =x+y+2z 2b) f :R →R par f(x,y) =x+y+1 2 Exercice 8 [ 01710 ] [correction]c) f :R →R définie par f(x,y) =xy 3 SoientE unK-espace vectoriel etf un endomorphisme deE nilpotent i.e. tel qu’ild) f :R →R par f(x,y,z) =x−z? ? nexiste n∈N pour lequel f = 0. Montrer que Id−f est inversible et exprimer son inverse en fonction de f. Exercice 2 [ 01704 ] [correction] 2 2Soit f :R →R définie par f(x,y) = (x+y,x−y). 2Montrer que f est un automorphisme deR et déterminer son automorphisme Exercice 9 [ 01711 ] [correction] réciproque. Soient E,F deuxK-espaces vectoriels, f∈L(E,F) et A,B deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer Exercice 3 [ 01705 ] [correction] R f(A)⊂f(B)⇔A+kerf⊂B+kerf1 Soit J :C([0,1],R)→R définie par J(f) = f(t)dt.0 Montrer que J est une forme linéaire. Exercice 4 [ 01706 ] [correction] ∞ ∞ 00 0Soit ϕ :C (R,R)→C (R,R) définie par ϕ(f) =f −3f +2f. Montrer que ϕ est un endomorphisme et préciser son noyau. Exercice 5 [ 01707 ] [correction] Soient a un élément d’un ensemble X non vide et E unK-espace vectoriel.