Sujet : Algèbre, Espaces préhilbertiens, Projections orthogonales

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Projections orthogonales Exercice 5 [ 03766 ] [correction] 1On pose E =C ([0, 1],R) et Exercice 1 [ 00524 ] [correction] Z Z1 1 0 0Soient E un espace vectoriel euclidien muni d’une base orthonormée ∀f,g∈E,hf,gi = f(t)g(t) dt + f (t)g (t) dt 0 0B = (e ,...,e ) et F un sous-espace vectoriel de E muni d’une base orthonormée1 n (x ,...,x ). Montrer que la matrice de p dans la baseB est1 p F a) Montrer queh.,.i définit un produit scalaire sur E. 2 00p b) On pose V ={f∈E/f(0) =f(1) = 0} et W = f∈E/f estC et f =f .X t X X Montrer que V et W sont supplémentaires et orthogonaux.k k k=1 Exprimer la projection orthogonale sur W. c) Soient α,β∈R etoù X est la colonne des composantes du vecteur x dansB.k k E ={f∈E/f(0) =α et f(1) =β}α,β Exercice 2 [ 00530 ] [correction] Calculer Z[Formule de Parseval] 1 2 0 2inf f(t) +f (t) dtOn suppose que (e ) est une famille orthonormale d’un espace préhilbertien En n∈N f∈Eα,β 0telle que V = Vect(e ) soit dense dans E. Montrer que pour tout x∈E,n n∈N +∞X 2 2 kxk = |(e |x)|n n=0 Exercice 3 [ 01331 ] [correction] 2 2Soient A et B dansS (R) telles que A =A et B =B.2 a) La matrice AB est-elle diagonalisable? b) Encadrer les valeurs propres de AB. Exercice 4 [ 03317 ] [correction] Soit E un espace de Hilbert réel dont le produit scalaire est notéh.|.i. Soient C une partie convexe non vide et fermée de E et x∈E.