Sujet : Algèbre, Espaces préhilbertiens, Espaces euclidiens et hermitiens

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Espaces euclidiens et hermitiens Exercice 5 [ 00519 ] [correction] 3Montrer que dansR euclidien : a∧(b∧c) = (a|c)b−(a|b)c. (on pourra utiliser les coordonnées de a,b,c dans une base où elles comportent un maximum de 0)Exercice 1 [ 00516 ] [correction] Trouver les valeurs propres et vecteurs propres de f(x) =a∧(a∧x) où a est unOn munitM (R) du produit scalaire défini parn vecteur unitaire puis reconnaître f. t(A|B) = tr( AB) a) Montrer que la base canonique (E ) deM (R) est orthonormée.i,j 16i,j6n n Exercice 6 Mines-Ponts PC [ 00520 ] [correction]b) Observer que les espacesS (R) etA (R) sont supplémentaires orthogonaux.n n Soient x ,x ,...,x des vecteurs d’un espace vectoriel euclidien de dimension1 2 n+2c) Etablir que pour tout A∈M (R) on an ?n∈N .p√ t Montrer qu’il est impossible quetr(A)6 n tr( AA) et préciser les cas d’égalité. ∀i =j,(x |x ) 2, v ,...,v des1 n vecteurs unitaires de E deux à deux distincts tels que : 2 ∀(i,j)∈{1,...,n} ,i =j⇒hv ,vi =ci j Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur c pour que (v ,...,v ) soit1 n nécessairement liée. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 6 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 3 Corrections b) Supposons a =b. Si y =f(x) alors y =x−(a|x)b puis (a|y) = (a|x)(1−(a|b)) et donc Exercice 1 : [énoncé] (a|y) x =y+ ba) (E |E ) = tr(E E ) = tr(δ E ) =δ δ .