Sujet : Algèbre, Espaces préhilbertiens, Espace préhilbertien réel

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Espace préhilbertien réel Exercice 6 [ 00510 ] [correction] Soient x,y deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Etablir Exercice 1 [ 00504 ] [correction] x y kx−yk Soient A,B∈S (R). Montrer − =n 2 2 kxkkykkxk kyk 2 2 2(tr(AB +BA)) 6 4tr(A )tr(B ) Exercice 7 [ 00511 ] [correction] On munit E =C ([a,b],R) du produit scalaire défini par Exercice 2 [ 00505 ] [correction] Z bDémonter que la boule unité fermée B d’un espace préhilbertien réel est (f|g) = f(t)g(t) dtstrictement convexe i.e. que pour tout x,y∈B différents et tout t∈ ]0, 1[, a k(1−t)x +tyk 2 vecteurs d’un espace préhilbertien réel.1 n On suppose Exercice 11 X MP [ 03024 ] [correction] ∀16i =j6n, (x |x ) 1. Montrer que Q possède n racines simples dans ]−1, 1[.n On suppose qu’il existe M∈R tel que b) Montrer que n 2 Q =X + (X − 1)R (X)n n n X n ∀(ε ,...,ε )∈{1,−1} , ε x 6M1 n k kavec R ∈R [X]. En déduire Q (1) et Q (−1).n n n 2 k=1c) On pose, pour (P,Q)∈R [X] , Z 1 Montrer nhP,Qi = P (t)Q(t) dt X 2 2 −1 kxk 6Mk k=1 Montrer que Q est orthogonal àR [X].n n−1 2 d) CalculerkQ k .n Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD 66 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 3 Exercice 17 [ 03321 ] [correction] Exercice 21 [ 03478 ] [correction] On munit l’espace E =C([0, 1],R) du produit scalaire Soit E un espace de Hilbert réel et C une partie convexe fermée non vide de E.