Sujet : Algèbre, Ensembles et applications, Injectivité, surjectivité et bijectivité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Injectivité, surjectivité et bijectivité Exercice 6 [ 01506 ] [correction] Soient E un ensemble et f :E→E telle que f◦f◦f =f. Montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective.Exercice 1 [ 01501 ] [correction] Soient f :N→N et g :N→N les applications définies par : k/2 si k est pair Exercice 7 [ 01507 ] [correction] ∀k∈N,f(k) = 2k et g(k) = (k−1)/2 si k est impair Soient f :E→F et g :F→E deux applications telles que f◦g◦f soit bijective. Montrer que f et g sont bijectives a) Etudier l’injectivité, la surjectivité et la bijectivité de f et de g. b) Préciser les applications g◦f et f◦g. Etudier leur injectivité, surjectivité et bijectivité. Exercice 8 [ 01508 ] [correction] Soient E,F,G trois ensembles, f ,f :E→F et g :F→G.1 2 On suppose g◦f =g◦f et g injective. Montrer que f =f .1 2 1 2 Exercice 2 [ 01502 ] [correction] 2Soient a, b et c trois réels tels que c = 0 et a +bc = 0. ax+bOn considère la fonction f :R\{a/c}→R\{a/c} définie par f(x) = .cx−a Exercice 9 [ 01509 ] [correction] Justifier que l’application f est bien définie. Soient E,F,G trois ensembles, f :E→F et g ,g :F→G.1 2 Calculer f◦f, en déduire que f est une permutation dont on déterminera On suppose f surjective et g ◦f =g ◦f. Montrer que g =g .1 2 1 2 l’application réciproque. Exercice 10 [ 01510 ] [correction] Exercice 3 [ 01503 ] [correction] Soit f :E→I une application surjective.