Sujet : Algèbre, Ensembles et applications, Image directe et image réciproque d'une partie

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Image directe et image réciproque d’une partie Exercice 1 [ 01512 ] [correction] Décrire l’image directe deR par la fonction exponentielle. 2Déterminer l’image réciproque de l’intervalle [−1,4] par la fonction f :x7→x définie surR. Exercice 2 [ 01513 ] [correction] Soit f :E→F une application. a) Montrer 0 0 0 0 0∀A,A ∈P(E), f(A∪A ) =f(A)∪f(A ) et f(A∩A )⊂f(A)∩f(A ) b) Montrer 0 −1 0 −1 −1 0 −1 0 −1 −1 0∀B,B ∈P(F), f (B∪B ) =f (B)∪f (B ) et f (B∩B ) =f (B)∩f (B ) Exercice 3 [ 01514 ] [correction] Soit f :E→F une application. Etablir −1 −1∀A∈P(E),A⊂f (f(A)) et∀B∈P(F),f(f (B))⊂B Exercice 4 [ 01515 ] [correction] Soient E et F deux ensembles et f :E→F. Montrer que f est injective si, et seulement si, 0 0 0∀A,A ∈℘(E),f(A∩A ) =f(A)∩f(A ) Exercice 5 [ 01516 ] [correction] Soit f :E→F une application. Montrer que : −1a) f est injective⇔∀A∈℘(E),A =f (f(A)). −1b) f est surjective⇔∀B∈℘(F),f(f (B)) =B. Exercice 6 [ 01517 ] [correction] Soit f :E→F une application. Montrer que : f est bijective si, et seulement si, ∀A∈℘(E),f(C A) =C f(A)E F Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 Corrections Exercice 5 : [énoncé] a) (⇒) Supposons f injective. Soit A∈P(E). −1On sait déjà que A⊂f (f(A)).Exercice 1 : [énoncé] −1 0 0 +? −1 Pour x∈f (f(A)), on a f(x)∈f(A) donc il existe x ∈A tel que f(x) =f(x ).exp(R) =R et f ([−1,4]) = [−2,2].