Sujet : Algèbre, Ensembles et applications, Ensembles ordonnés

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Ensembles ordonnés Exercice 6 [ 01523 ] [correction] Soient A,B deux parties d’un ensemble E ordonné par4. On suppose que A et B ont chacun un plus grand élément.Exercice 1 [ 01518 ] [correction] +? Qu’en est-il de A∪B lorsque l’ordre est total? lorsqu’il ne l’est pas?On définit une relation binaire4 surR par : Que dire de A∩B? nx4y⇔∃n∈N,y =x Montrer que4 est une relation d’ordre. Cet ordre est-il total? Exercice 7 [ 01524 ] [correction] Soit (E,4) un ensemble ordonné tel que toute partie non vide admet un plus petit élément et un plus grand élément. Montrer que E est fini.Exercice 2 [ 01519 ] [correction] 2Soit4 la relation définie sur E = (x,y)∈R /x6y par 0 0 0 0 0(x,y)4 (x,y )⇔ (x,y) = (x,y ) ou y6x Exercice 8 [ 01525 ] [correction] Soit E un ensemble ordonné par une relation6. Montrer que4 est une relation d’ordre sur E. Un tableau à n lignes et p colonnes est formé d’éléments a ∈E avec i indice dei,j ligne (16i6n) et j indice de colonne (16j6p). On note le plus petit élément de chaque colonne et l’on prend le plus grand de ces plus petits :Exercice 3 [ 01520 ] [correction] On définit une relation binaire4 sur{z∈C/Im(z)> 0} par : max min ai,j 16j6p 16i6n 0 0 0 0z4z ⇔|z| 0, on a x =x pour n = 1∈N donc x4x. La relation4 est réflexive. n Soient x,y,z∈E. Si x4y et y4z alors f(x)6f(y) et f(y)6f(z) doncSoient x,y > 0, si x4y et y4x alors il existe n,m∈N tels que y =x et m f(x)6f(z) puis x4zx =y .