Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Matrices et endomorphismes antisymétriques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Matrices et endomorphismes antisymétriques Exercice 5 [ 00375 ] [correction] Un endomorphisme u d’un espace euclidien E est dit antisymétrique si Exercice 1 [ 00374 ] [correction] ∀x∈E, (u(x)|x) = 0 Un endomorphisme f d’une espace vectoriel euclidien est dit antisymétrique si ?f =−f. Soit u un endomorphisme antisymétrique. a) Soit f∈L(E). Montrer que f est antisymétrique si, et seulement si, a) Quelles sont les seules valeurs propres réelles possibles pour u? A quelle condition un endomorphisme antisymétrique est-il diagonalisable? ∀x∈E, (f(x)|x) = 0 b) Etablir que, pour tout x,y∈E, On suppose désormais que E est un espace vectoriel euclidien orienté de (u(x)|y) =−(x|u(y)) dimension 3. b) Soit u∈E. Montrer que f :x7→u∧x est un endomorphisme antisymétrique En déduire que la matrice A dans une base orthonormée d’un endomorphisme de E. antisymétrique est elle-même antisymétrique. c) Inversement, soit f un endomorphisme antisymétrique de E. Etablir qu’il existe c) Soient A une matrice antisymétrique réelle, λ une valeur propre complexe de la un unique vecteur u∈E tel que f(x) =u∧x pour tout x∈E. matrice A et X un vecteur propre associé. t ¯En étudiant XAX, établir que λ∈iR. Exercice 2 [ 00373 ] [correction] Montrer que tout matrice antisymétrique réelle est de rang pair.