Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Matrices symétriques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Matrices symétriques Exercice 7 [ 03491 ] [correction] Soit A = (a )∈M (R) une matrice symétrique.i,j n a) Justifier que le spectre de A est une partie finie non vide deR.Exercice 1 [ 02614 ] [correction] On poseSoit A∈M (R) symétrique.n n λ = minSpA et λ = maxSpAmin maxOn suppose A =O . Déterminer A.n b) Montrer ∀16i6n,λ 6a 6λmin i,i maxExercice 2 [ 02503 ] [correction] tSoit M∈M (R) telle que M + M soit nilpotente.n Montrer que M est antisymétrique. Exercice 8 [ 00372 ] [correction] Soit A∈S (R) à valeurs propres positives. Etablirn Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 01330 ] [correction] 1t t ? 1/nSoit A∈M (R) telle que AA =A A. On suppose qu’il existe p∈N tel quen (detA) 6 trA p nA = 0. ta) Montrer que AA = 0. b) En déduire que A = 0. Exercice 9 [ 02600 ] [correction] tOn étudie l’équation M MM =I d’inconnue M∈M (R).n n a) Montrer qu’une solution est une matrice symétrique.Exercice 4 [ 00369 ] [correction] t b) En déduire les solutions de l’équation étudiée.Soit A∈M (R). Montrer que la matrice AA est diagonalisable à valeurs propresn positives. Exercice 10 Centrale MP [ 02401 ] [correction] Exercice 5 [ 00370 ] [correction] t tSoient A et B dansM (R). Montrer, si A A =B B, qu’il existe Q∈O (R) teln n Soit A une matrice réelle carrée d’ordre n. que B =AQ. a) Montrer que χt =χ tAA A A t tb) Montrer que les matrices AA et A A sont semblables. Exercice 11 Mines-Ponts MP [ 02750 ] [correction] p ?