Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Matrices orthogonales

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Matrices orthogonales Exercice 7 Centrale MP [ 02404 ] [correction] Soit A = (a ) ∈O (R).i,j 16i,j6n n a) MontrerExercice 1 [ 00339 ] [correction] X √ |a |6n ni,jQuelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures? 16i,j6n b) Montrer Exercice 2 [ 00340 ] [correction] X a 6nSoit T une matrice réelle carrée d’ordre n antisymétrique. i,j 16i,j6nEtablir que la matrice exp(T ) est orthogonale. c) Peut-on avoir simultanément : Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02742 ] [correction] X X √ |a | =n n et a =n?i,j i,jSoit A une matrice antisymétrique deM (R). n 16i,j6n 16i,j6nQue peut-on dire de expA? Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02743 ] [correction] Exercice 4 [ 02562 ] [correction] Soit A = (a ) une matrice réelle orthogonale. Montrer quei,j 16i,j6nSoit Ω∈M (R) une matrice orthogonale.n Soit λ une valeur propre complexe de Ω et X∈M (C) vérifiantn,1 X a 6ni,j ΩX =λX 16i,j6n En calculant de deux façons t ¯ ¯ΩX ΩX Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02744 ] [correction] établir que λ est de module 1. Soit A∈O (R). On suppose que 1 n’est pas valeur propre de A.n a) Etudier la convergence de 1 p(I +A +··· +A )Exercice 5 [ 00341 ] [correction] n p + 1 Soit A∈M (R) inversible. En interprétant A comme la matrice de passage entren une base orthonormée d’un espace euclidien et une autre base de cet espace et en lorsque p→ +∞.