Sujet : Algèbre, Endomorphismes des espaces euclidiens, Automorphismes orthogonaux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Automorphismes orthogonaux Exercice 7 [ 03075 ] [correction] Soient E un espace euclidien et f une application de E vers E vérifiant Exercice 1 [ 00342 ] [correction] f(0) = 0 et∀x,y∈E, kf(x)−f(y)k =kx−yk Soit f∈O(E) diagonalisable. Montrer que f est une symétrie. a) Montrer que ∀x∈E, kf(x)k =kxk Exercice 2 [ 00343 ] [correction] b) EtablirSoient F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien E et f∈O(E). ∀x∈E,f(−x) =−f(x)Montrer ⊥ ⊥f(F ) =f(F ) c) Etablir que ∀x,y∈E, (f(x)|f(y)) = (x|y) d) SoitB = (e ,...,e ) une base orthonormée de E. Justifier que1 nExercice 3 [ 00344 ] [correction] Soient f un automorphisme orthogonal d’un espace vectoriel euclidien E et nX F = ker(f−Id). ∀x∈E,f(x) = (e |x)f(e )k k ⊥ ⊥Montrer que f(F ) =F . k=1 e) En déduire que f est un automorphisme orthogonal de E. Exercice 4 [ 00345 ] [correction] Soient f∈O(E) et V un sous-espace vectoriel de E. Exercice 8 [ 00348 ] [correction]Montrer que : Soient a un vecteur d’un espace euclidien orienté E de dimension 3 et ⊥ V est stable pour f si, et seulement si, V l’est f ,r ∈L(E) définis para a f (x) =a∧x et r = exp(f )a a a Exercice 5 [ 03082 ] [correction] Montrer que r est une rotation et en donner les éléments caractéristiques.