Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Rang d'une application linéaire

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Rang d’une application linéaire Exercice 7 [ 00195 ] [correction] Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et f,g∈L(E). Etablir queExercice 1 [ 00189 ] [correction] n dimker(g◦f)6 dimkerg+dimkerfSoient u,v∈L(K ) tels que u+v = id et rgu+rgv6n Exercice 8 [ 00192 ] [correction] Montrer que u et v sont des projecteurs. Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectoriel E de dimension finie n. Former une condition nécessaire et suffisante sur F et G pour qu’il existe un Exercice 2 Mines-Ponts MP [ 02682 ] [correction] endomorphisme u de E tel que Imu =F et keru =G. Soient f,g∈L(E) où E est un espace vectoriel surK de dimension finie. Montrer |rgf−rgg|6 rg(f +g)6 rgf +rgg Exercice 9 [ 00194 ] [correction] Soient f∈L(E) et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que dimkerf∩F > dimF−rgf. Exercice 3 [ 00201 ] [correction] Soient E,F deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies et f,g∈L(E,F). Montrer ( Exercice 10 [ 00196 ] [correction] Imf∩Img ={0} On dit qu’une suite d’applications linéairesrg(f +g) = rg(f)+rg(g)⇔ kerf +kerg =E uu u u n−1 u0 1 2 n {0}→E →E →··· → E →{0}1 2 n est exacte si on a Imu = keru pour tout k∈{0,...,n−1}. Montrer que sik k+1Exercice 4 [ 00191 ] [correction] tous les E sont de dimension finie, on a la formule dite d’Euler-Poincaré :kSoient f et g deux endomorphismes de E. Montrer que : a) rg(f◦g)6 min(rgf,rgg). nX kb) rg(f◦g)> rgf +rgg−dimE.