Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Projecteurs

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Projecteurs Exercice 7 [ 03251 ] [correction] Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension n. Montrer Exercice 1 [ 00165 ] [correction] f est un projecteur ⇔ rgf +rg(Id−f) =n Soient p et q deux projecteurs d’unK-espace vectoriel E. a) Montrer que p et q ont même noyau si, et seulement si, p◦q =p et q◦p =q. b) Enoncer une condition nécessaire et suffisante semblable pour que p et q aient Exercice 8 [ 03759 ] [correction]même image. Soient p et q deux projecteurs d’unR-espace vectoriel E vérifiant Imp⊂ kerq Exercice 2 Centrale MP [ 00164 ] [correction] Soient p,q deux projecteurs d’unK-espace vectoriel E. Montrer que p+q−p◦q est un projecteur et préciser son image et son noyau. ˜a) Montrer que p+q est un projecteur si, et seulement si, p◦q =q◦p = 0. b) Préciser alors Im(p+q) et ker(p+q). Exercice 9 CCP MP [ 03359 ] [correction] Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E surR ouC vérifiant Exercice 3 [ 02468 ] [correction] f◦g = Id. Soient p et q deux projecteurs d’unK-espace vectoriel E vérifiant p◦q = 0. a) Montrer que ker(g◦f) = kerf et Im(g◦f) = Img. a) Montrer que r =p+q−q◦p est un projecteur. b) Montrer b) Déterminer image et noyau de celui-ci. E = kerf⊕Img −1c) Dans quel cas peut-on conclure g =f ? d) Calculer (g◦f)◦(g◦f) et caractériser g◦fExercice 4 [ 00166 ] [correction] Soit E unC-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E).