Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Dualité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Dualité Exercice 6 [ 03139 ] [correction] ?Soit H un hyperplan du dual E d’unK-espace vectoriel E de dimension finie n> 2.Exercice 1 [ 03131 ] [correction] Montrer qu’il existe x∈E vérifiantSoient a ,a ,...,a ∈R deux à deux distincts. Montrer qu’il existe0 1 n n+1(λ ,...,λ )∈R unique vérifiant0 n ?∀ϕ∈E ,ϕ∈H⇔ϕ(x) = 0 Z n1 X ∀P∈R [X], P(t)dt = λ P(a )n k k 0 k=0 Exercice 7 [ 03140 ] [correction] Soit E unK-espace vectoriel de dimension finie n> 1. Montrer Exercice 2 [ 00210 ] [correction] ?∀x,y∈E,x =y⇒∃ϕ∈E ,ϕ(x) =ϕ(y)Soient a ,...,a ∈K deux à deux distincts et f ,...,f les formes linéaires sur0 n 0 n E =K [X] déterminées parn f (P) =P(a )i i Exercice 8 [ 00209 ] [correction]Etablir que la famille (f ,...,f ) est une base du dual de E et déterminer sa base0 n Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie et f, g deux formes linéairesantéduale. non nulles sur E. Montrer Exercice 3 [ 03132 ] [correction] ∃x∈E,f(x)g(x) = 0 Soient ϕ ,ϕ ,ϕ les formes linéaires surR [X] définies par1 2 3 2 Z 1 0 ϕ (P) =P(1), ϕ (P) =P (1) et ϕ (P) = P(t)dt1 2 3 Exercice 9 [ 00208 ] [correction] 0 ?Soientf,g∈E telles que kerf = kerg. Montrer qu’il existeα∈K tel quef =αg. Montrer que la famille (ϕ ,ϕ ,ϕ ) est une base du dual deR [X] et déterminer1 2 3 2 sa base antéduale. Exercice 10 [ 00206 ] [correction] Soient f ,...,f des formes linéaires sur unK-espace vectoriel E de dimension n.