Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Dimension

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Dimension Exercice 5 [ 00179 ] [correction] Soient E et F deuxK-espaces vectoriels de dimensions finies et G un sous-espace vectoriel de E. On poseExercice 1 [ 00172 ] [correction] Soient E unK-espace vectoriel de dimension n> 1, f un endomorphisme A ={u∈L(E,F )/G⊂ keru}pnilpotent non nul de E et p le plus petit entier tel que f = 0. 2 p−1Montrer qu’il existe x∈E tel que la famille (x,f(x),f (x),...,f (x)) soit libre a) Montrer que A est un sous-espace vectoriel deL(E,F ). net en déduire que f = 0. b) Déterminer la dimension de A. Exercice 2 [ 00173 ] [correction] Exercice 6 [ 00180 ] [correction] ?Soient E unK-espace vectoriel de dimension finie n∈N et f un endomorphisme Soit f un endomorphisme d’unK-espace vectoriel E de dimension finie. de E tel qu’il existe un vecteur x ∈E pour lequel la famille0 Montrer que l’ensemble des endomorphismes g de E tels que f◦g = 0 est un n−1(x ,f(x ),...,f (x )) soit une base de E. On note0 0 0 sous-espace vectoriel deL(E) de dimension dimE× dim kerf. C ={g∈L(E)/g◦f =f◦g} Exercice 7 [ 00182 ] [correction] a) Montrer queC est un sous-espace vectoriel deL(E). Soit E un espace vectoriel de dimension finie. b) Observer que 0a) Soient H et H deux hyperplans de E. Montrer que ceux-ci possèdent un n−1 supplémentaire commun.C = a Id +a f +··· +a f |a ,...,a ∈K0 1 n−1 0 n−1 b) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E tels que dimF = dimG. c) Déterminer la dimension deC.