Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre linéaire, Base d'un espace vectoriel

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 k kBase d’un espace vectoriel d) Donner une base de S (on pourra utiliser R (X) = (X +1) −aX pourp k k∈ [0,p]). e) Application : déterminer la suite (u ) définie parnExercice 1 [ 00167 ] [correction] Pour a∈R, on note f l’application deR versR définie par f (x) =|x−a|.a a u =−2 et u = 2u −2n+70 n+1 nMontrer que la famille (f ) est une famille libre d’éléments de l’espaceF(R,R)a a∈R Exercice 7 [ 01761 ] [correction] Exercice 2 [ 00168 ] [correction] na) Montrer que la famille (X +k) pour k∈{0,...,n} constitue une base de Pour a∈C, on note e l’application deR versC définie par e (t) = exp(at).a a R [X].nMontrer que la famille (e ) est une famille libre d’éléments de l’espaceF(R,C).a a∈C b) Redémontrer la formule donnant l’expression du déterminant de Vandermonde Exercice 3 [ 00169 ] [correction] +Pour a∈R , on note f l’application deR versR définie para f (t) = cos(at)a Montrer que la famille (f ) + est une famille libre d’éléments de l’espace dea a∈R F(R,R). Exercice 4 [ 00170 ] [correction] Soit (p ) la suite strictement croissante des nombres premiers.n n∈N? Montrer que la famille (lnp ) est une famille libre duQ-espace vectorielR.n n∈N? Exercice 5 [ 00171 ] [correction] Soit E l’ensemble des applications f : [−1,1]→R continues telles que les restrictions f et f soient affines.|[−1,0] |[0,1] a) Montrer que E est unR-espace vectoriel. b) Donner une base de E.