Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Relation d'équivalence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Relation d’équivalence Exercice 6 [ 03453 ] [correction] Soit (G,.) un groupe de cardinal 2n. a) Justifier que l’on définit une relation d’équivalenceR sur G en posantExercice 1 [ 02643 ] [correction] SoitR une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive et transitive. −1xRy⇔x =y ou x =y On définit les nouvelles relationsS etT par : b) En déduire l’existence dans G d’un élément d’ordre 2.xSy⇔ (xRy et yRx) et xTy⇔ (xRy ou yRx) Les relationsS etT sont-elles des relations d’équivalences? Exercice 7 X MP [ 03243 ] [correction] α ?Soit G un groupe multiplicatif de cardinal p avec p premier et α∈N .Exercice 2 [ 02644 ] [correction] Montrer queSoit E un ensemble et A une partie de E. Z(G) ={1}On définit une relationR sur ℘(E) par : XRY ⇔X∪A =Y∪A a) Montrer queR est une relation d’équivalence b) Décrire la classe d’équivalence de X∈℘(E) Exercice 3 [ 02983 ] [correction] On considère surF(E,E) la relation binaireR définie par : fRg⇔∃ϕ∈S(E) telle que f◦ϕ =ϕ◦g a) Montrer queR est une relation d’équivalence. b) Décrire la classe d’équivalence d’une fonction donnée f∈S(E). Exercice 4 [ 02984 ] [correction] SoitR une relation binaire réflexive et transitive. On définit une relationS par : xSy⇔xRy et yRx Montrer queS est une relation d’équivalence et queR permet de définir une relation d’ordre sur les classes d’équivalences deS. Exercice 5 [ 02985 ] [correction] Soit (G,×) un groupe et H un sous groupe de (G,×).