Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Indicatrice d'Euler

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Indicatrice d’Euler Exercice 7 [ 03634 ] [correction] On note ϕ la fonction indicatrice d’Euler. ?a) Soit d un diviseur positif de n∈N . Combien y a-t-il d’entiers k vérifiantExercice 1 [ 02655 ] [correction] Combien y a-t-il d’éléments inversibles dansZ/78Z? k∈ [1,n] et pgcd(k,n) =d? b) En déduire XExercice 2 [ 00151 ] [correction] n = ϕ(d)?Pour n∈N , on note ϕ(n) le nombre d’éléments inversibles dans (Z/nZ,×). α ? d|na) Calculer ϕ(p) et ϕ(p ) pour p premier et α∈N . b) Soient m et n premiers entre eux. On considère l’application f :Z/mnZ→Z/nZ×Z/mZ définie par f(x¯) = (x,ˆ x˜). Exercice 8 [ 02381 ] [correction]Montrer que f est bien définie et réalise un isomorphisme d’anneaux. Soient T = (t )∈M (R) déterminée pari,j nc) En déduire que ϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n). d) Exprimer ϕ(n) selon la décomposition primaire de n. 1 si i divise j t =i,j 0 sinon Exercice 3 [ 00257 ] [correction] et D = diag(ϕ(1),...,ϕ(n))∈M (R) matrice diagonale.nEtablir On rappelle la propriétén ln 2 X∀n> 3,ϕ(n)> ?∀n∈N ,n = ϕ(d)lnn + ln 2 d|n ta) Calculer le coefficient d’indice (i,j) de la matrice TDT en fonction deExercice 4 [ 02374 ] [correction] pgcd(i,j).Montrer que pour tout entier n> 3, ϕ(n) est un nombre pair. b) En déduire la valeur du déterminant de la matrice de Smith   pgcd(1, 1) pgcd(1, 2) ··· pgcd(1,n)Exercice 5 [ 00152 ] [correction]  pgcd(2, 1) pgcd(2, 2) ··· pgcd(2,n)?