Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Idéaux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Idéaux Exercice 6 [ 00138 ] [correction] 2Soient A un anneau commutatif et e un élément idempotent de A (i.e. e =e). a) Montrer que J ={x∈A/xe = 0} est un idéal de A.Exercice 1 [ 00134 ] [correction] b) On note I =Ae l’idéal principal engendré par e. Déterminer I +J et I∩J.Quels sont les idéaux d’un corpsK? c) Etablir que pour tout idéal K de A : (K∩I)+(K∩J) =K Exercice 2 [ 00135 ] [correction] On note n op Exercice 7 [ 00140 ] [correction]D = /p∈Z,n∈N n10 [Idéaux premiers] l’ensemble des nombres décimaux. Un idéal I d’un anneau commutatif (A,+,×) est dit premier si, et seulement si, a) Montrer queD est un sous-anneau de (Q,+,×). ∀x,y∈A,xy∈I⇒x∈I ou y∈Ib) Montrer que les idéaux deD sont principaux (c’est-à-dire de la forme aD avec a∈D). a) Donner un exemple d’idéal premier dans Z. b) Soit P∈K[X] un polynôme irréductible. Montrer que P.K[X] est premier. c) Soient J et K deux idéaux de A. Montrer Exercice 3 [ 03635 ] [correction] 2 J∩K =I⇒ (J =I ou K =I)Soit I un idéal de l’anneau produit (Z ,+,×). a) On pose I ={x∈Z/(x,0)∈I} et I ={y∈Z/(0,y)∈I}.1 2 d) Soit (A,+,×) un anneau commutatif dont tout idéal est premier. Etablir que Montrer que I et I sont des idéaux de (Z,+,×).1 2 A est intègre puis que A est un corps. b) Etablir I =I ×I .1 2 2c) Conclure que les idéaux de l’anneau (Z ,+,×) sont tous principaux.