Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Groupes

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Groupes a) Montrer que les ensembles aH ={ax/x∈H} avec a∈G ont tous le cardinal de H. b) Montrer que les ensembles aH avec a∈G sont deux à deux confondus ouExercice 1 [ 00113 ] [correction] disjoints.Un sous-groupe d’un groupe produit est-il nécessairement produit de deux c) En déduire que le cardinal de H divise celui de G.es? d) Application : Montrer que tout élément de G est d’ordre fini et que cet ordre divise le cardinal de G. Exercice 2 [ 00114 ] [correction] Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe (G,?). Exercice 7 [ 00119 ] [correction]A quelle condition l’ensemble H∪K est-il un sous-groupe de (G,?)? Soit n∈N tel que n> 2. Déterminer les morphismes du groupe (S ,◦) versn ?(C ,×). Exercice 3 [ 03432 ] [correction] Un sous-groupe H de (G,.) est dit distingué si Exercice 8 [ 00120 ] [correction] −1∀x∈H,∀a∈G,axa ∈H Soit n∈N tel que n> 3. On considère la transposition τ = 1 2 et le n-cycle χ = 1 2 ... n . a) Montrer que le noyau d’un morphisme de groupes au départ de (G,.) est a) Justifier que l’ensemble{τ,χ} forme une partie génératrice de (S ,◦).n distingué. b) Existe-t-il une partie génératrice de (S ,◦) formée d’un seul élément?n b) Soient H,K deux sous-groupes de (G,.). On suppose le sous-groupe H distingué, montrer que l’ensemble Exercice 9 [ 00121 ] [correction] HK ={xy/x∈H,y∈K} Soit H l’ensemble des σ∈S vérifiant σ(k)+σ(n+1−k) =n+1 pour toutn k∈{1,...,n}.est un sous-groupe de (G,.).