Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Groupe cyclique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Groupe cyclique Exercice 6 [ 02505 ] [correction] Soit   0 1 (0) Exercice 1 [ 00123 ] [correction]  . .. . On désire établir que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est lui-même cyclique. . . M = ∈M (C)n On introduit (G, ? ) un groupe cyclique de générateur a et H un sous-groupe de .. .(0) 1 (G, ? ). 1 (0) 0na) Justifier l’existence d’un plus petit entier naturel non nul tel que a ∈H. nb) Etablir qu’alors H est le groupe engendré par a . a) Calculer le polynôme caractéristique de M. La matrice M est-elle diagonalisable? est-elle inversible? kb) Soit G = M /k∈Z . Montrer que G est une groupe cyclique et préciser son Exercice 2 [ 00124 ] [correction] cardinal. Soit G un groupe cyclique de cardinal n. ?Montrer, que pour tout diviseur d∈N de n, G possède un et un seul sous-groupe de cardinal d. Exercice 3 [ 00125 ] [correction] Soit H et K deux groupes notés multiplicativement. a) Montrer que si h est un élément d’ordre p deH et k un élément d’ordre q deK alors (h,k) est un élément d’ordre ppcm(p,q) de H×K. b) On suppose H et K cycliques. Montrer que le groupe produit H×K est cyclique si, et seulement si, les ordres de H et K sont premiers entre eux. Exercice 4 Centrale MP [ 02365 ] [correction] Soit p un nombre premier; on pose n o kpG = z∈C;∃k∈N,z = 1p ?a) Montrer que G est un sous-groupe de (C ,×).