Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Classe de congruence

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Classe de congruence Exercice 8 Centrale MP [ 02364 ] [correction] Soit un entier n> 2. Combien le groupe (Z/nZ, +) admet-il de sous-groupes? Exercice 1 [ 00142 ] [correction] Résoudre les équations suivantes : Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02649 ] [correction]a) 3x + 5 = 0 dansZ/10Z 2 Soit (G,.) un groupe fini tel queb) x = 1 dansZ/8Z 2c) x + 2x + 2 = 0 dansZ/5Z. 2∀g∈G,g =e où e est le neutre de G. On suppose G non réduit à{e}.Exercice 2 [ 00143 ] [correction] ? nMontrer qu’il existe n∈N tel que G est isomorphe à ((Z/2Z) , +).Résoudre les systèmes suivants : ( ( ( x≡ 1 [6] 3x≡ 2 [5] x +y≡ 4 [11] a) b) c) x≡ 2 [7] 5x≡ 1 [6] xy≡ 10 [11] Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02660 ] [correction] Si p est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dansZ/pZ? Exercice 3 [ 00145 ] [correction] Soit p un nombre premier et k un entier premier avec p− 1. Exercice 11 [ 03218 ] [correction]kMontrer que l’application ϕ :Z/pZ→Z/pZ définie par ϕ(x) =x est bijective. Soit p un nombre premier. Calculer p pX X Exercice 4 [ 00146 ] [correction] 2¯ ¯P k et k kSoit p un entier premier. Montrer que x est égal à 0 ou−1. k=1 k=1 x∈Z/pZ Exercice 5 [ 00147 ] [correction] Exercice 12 [ 03780 ] [correction] Déterminer les morphismes de groupes entre (Z/nZ, +) et (Z/mZ, +). Donner l’ensemble G des inversibles de l’anneauZ/20Z.