Sujet : Algèbre, Eléments d'algèbre générale, Arithmétique

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Arithmétique Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02654 ] [correction] Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n+3. Exercice 1 [ 00155 ] [correction] Soit A un ensemble de n+1> 2 entiers distincts tous inférieurs ou égaux à 2n. Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02656 ] [correction]Montrer qu’il existe deux éléments de A tels que l’un divise l’autre. Soient des entiers a> 1 et n> 0. nMontrer que si a +1 est premier alors n est une puissance de 2. Exercice 2 Centrale MP [ 02358 ] [correction] ?Pour n∈N , on désigne par N le nombre de diviseurs positifs de n et par P leur produit. Quelle relation existe-t-il entre n, N et P ? Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02657 ] [correction] n2Soit, pour n∈N, F = 2 +1.n 2a) Montrer, si (n,m)∈N avec n =m, que F ∧F = 1.Exercice 3 Centrale MP [ 02359 ] [correction] n m 4444 b) Retrouver à l’aide du a) le fait que l’ensemble des nombres premiers est infini.Soit A la somme des chiffres de 4444 , B celle de A et enfin C celle de B. Que vaut C? Exercice 10 Mines-Ponts MP [ 02658 ] [correction] Exercice 4 Centrale MP [ 02361 ] [correction] ? ϕ(n)√ a) Pour (a,n)∈Z×N avec a∧n = 1, montrer que a = 1 [n]. !Soit P∈Z[X] et a,b deux entiers relatifs avec b> 0 et b irrationnel.√ p a) Exemple : montrer que 6 est irrationnel. b) Pour p premier et k∈{1,...,p−1}, montrer que p divise .√ n kb) Quelle est la forme de (a+ b) ?√ √ ? 2 n−1c) Montrer que si a+ b est racine de P alors a− b aussi.