Sujet : Algèbre, Arithmétique dans Z, Nombres premiers et décomposition primaire

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Nombres premiers et décomposition primaire Exercice 8 [ 01225 ] [correction] Soit n∈N, montrer √ 2n∈Q⇔∃m∈N, n=mExercice 1 [ 01219 ] [correction] √ √ Montrer que les nombres suivants sont composés : En déduire que 2∈/Q et 3∈/Q 3 2 ? 4 2a) 4n +6n +4n+1 avec n∈N b) n −n +16 avec n∈Z. Exercice 9 [ 01226 ] [correction] Exercice 2 [ 01220 ] [correction] Pour p∈P et n∈Z, on note v (n) l’exposant de la plus grande puissance de pp Soient a et p deux entiers supérieurs à 2. divisant n. pMontrer que si a −1 est premier alors a=2 et p est premier. a) Montrer que v (1000!)=994.2 E(px) b) Plus généralement, calculer v (n!). On rappelle que∀x∈R,E =E(x).p p Exercice 3 [ 03623 ] [correction] Soit n un naturel non nul. Montrer qu’il existe toujours un nombre premier Exercice 10 [ 01227 ] [correction]strictement compris entre n et n!+2. Soit n∈N\{0,1}. Montrer que n est le produit de ses diviseurs non triviaux si, et 3seulement si, n=p avec p∈P ou n=p p avec p ,p ∈P distincts.1 2 1 2 Exercice 4 [ 01221 ] [correction] 2Soit p>3 un nombre premier. Montrer que 24|p −1. Exercice 11 [ 01228 ] [correction] ? αSoient p∈P et α∈N . Déterminer les diviseurs positifs de p . Exercice 5 [ 01222 ] [correction] Soit p un nombre premier. Exercice 12 [ 01229 ] [correction]a) Montrer ! NQ αkp Soit n∈N\{0,1} et n= p sa décomposition primaire.k∀k∈{1,2,...,p−1}, p| k=1 k Quel est le nombre de diviseurs positifs de n?