Sujet : Algèbre, Arithmétique dans Z, Nombres premiers entre eux

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Nombres premiers entre eux Exercice 7 [ 01208 ] [correction] 2a) Pour n∈N, montrer qu’il existe un couple unique (a ,b )∈N tel quen n √ √Exercice 1 [ 01202 ] [correction] n(1+ 2) =a +b 2n n Soient a et b premiers entre eux. Montrer que a∧(a+b) =b∧(a+b) = 1 puis (a+b)∧ab = 1. 2 2b) Calculer a −2b .n n c) En déduire que a et b sont premiers entre eux.n n Exercice 2 [ 01203 ] [correction] Soient a,b∈Z. Exercice 8 [ 01209 ] [correction] a) On suppose a∧b = 1. Montrer que (a+b)∧ab = 1. Soient a et b deux entiers relatifs premiers entre eux et d∈N un diviseur de ab. b) On revient au cas général. Calculer pgcd(a+b,ppcm(a,b)). Montrer 2∃!(d ,d )∈N , d =d d ,d |a et d |b1 2 1 2 1 2 Exercice 3 [ 01204 ] [correction] ? Exercice 9 [ 01210 ] [correction]Montrer que pour tout n∈N on a : On note div(n) l’ensemble des diviseurs positifs d’un entier n∈Z. 2 2 Soient a,b∈Z premiers entre eux et ϕ : div(a)×div(b)→N définie para) (n +n)∧(2n+1) = 1 b) (3n +2n)∧(n+1) = 1 ϕ(k,‘) =k‘. Montrer que ϕ réalise une bijection de div(a)×div(b) vers div(ab). Exercice 4 [ 01205 ] [correction] ?Montrer que pour tout entier n∈N , n+1 et 2n+1 sont premiers entre eux. ! Exercice 10 [ 01211 ] [correction]2n 2 2En déduire que n+1| . Soient a et b deux entiers relatifs tels que a |b . Montrer que a|b. n Exercice 11 [ 01212 ] [correction] ? nExercice 5 [ 01206 ] [correction] Soit x∈Q. On suppose qu’il existe n∈N tel que x ∈Z. Montrer que x∈Z.