Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Positivité

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Positivité Exercice 6 [ 01340 ] [correction] n 2Soit A∈S (R). Si (X,Y )∈ (R ) , on posen Exercice 1 [ 00005 ] [correction] t0 XnPour x = (x ,...,x )∈R , on pose Φ(X,Y ) =− det1 n Y A 2 2 2 2q(x) =x +··· +x − (x +··· +x ) n1 p p+1 p+q a) Démontrer que Φ est une forme bilinéaire symétrique surR . nb) A quelle condition sur A, l’application Φ est-elle un produit scalaire surR ? avec p +q6n. Soit F un sous-espace vectoriel de E tel que q soit définie positive. F Montrer que dimF 6p. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02765 ] [correction] Soient E unR-espace vectoriel et q une forme quadratique sur E de forme polaire B, Exercice 2 Centrale MP [ 00006 ] [correction] C ={x∈E,q(x) = 0} et N ={x∈E,∀y∈E,B(x,y) = 0}q q Montrer que si q est une forme quadratique réelle est définie, celle-ci est positive Montrer que C =N si, et seulement si, q est positive ou négative.q qou négative. Exercice 8 Centrale MP [ 03062 ] [correction] Exercice 3 [ 00007 ] [correction] Soient a ,...a > 0 et deux à deux distincts.1 n Montrer qu’une forme quadratique positive est une fonction convexe. nPour (x ,...,x )∈R , on pose1 n nX x xi j q(x) = a +aExercice 4 Mines-Ponts MP [ 02764 ] [correction] i j i,j=1 Condition sur α pour que la forme quadratique Q définie par :α Montrer que q est une forme quadratique définie positive. !2n nX X n 2 ∀(x ,...,x )∈R , Q (x ,...,x ) = x −α x1 n α 1 n ii i=1 i=1 soit définie positive?