Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Endomorphismes autoadjoints positifs

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Endomorphismes autoadjoints positifs Exercice 5 Mines-Ponts MP [ 02753 ] [correction] Soient E un espace euclidien et u∈L(E) symétrique défini positif. Montrer que, pour tout x∈E,Exercice 1 [ 00008 ] [correction] 4 −1 ? + kxk 6hu(x),xi u (x),xSoient f∈L(E) et u =f ◦f. Montrer que u∈S (E). Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il y ait égalité. Exercice 2 [ 00009 ] [correction] Soit u un endomorphisme symétrique positif d’un espace vectoriel euclidien E. Exercice 6 [ 00629 ] [correction] 2a) Montrer qu’il existe un endomorphisme v symétrique positif tel que u =v . Soit E un espace euclidien. Montrer l’équivalence des assertions suivantes ?b) Etablir l’unicité de v en étudiant l’endomorphisme induit par v sur les (i) uu u =u; ?sous-espaces propres de u. (ii) uu est un projecteur orthogonal; ?(iii) u u est un pro; ⊥(iv) (keru) ={x∈E/ku(x)k =kxk}. Exercice 3 Centrale MP [ 02399 ] [correction] Soit (E,h|i) un espace euclidien et A un endomorphisme symétrique défini positif de (E,h|i). On pose Exercice 7 [ 03329 ] [correction] −1hx|yi = A x|y Soitu un endomorphisme autoadjoint d’un espace euclidien E de dimensionn nonA nulle.pour tous x,y∈E. On posea) Montrer queh|i est un produit scalaire.A H ={x∈E/(u(x)|x) = 1}uSoit B un endomorphisme autoadjoint de (E,h|i).