Sujet : Algèbre, Algèbre bilinéaire, Diagonalisation simultanée de formes bilinéaires symétriques

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Diagonalisation simultanée de formes bilinéaires Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02756 ] [correction] +Soient A,B∈S (R).nsymétriques a) Montrer que si A est définie positive alors il existe P∈ GL (R) et D∈M (R)n n t tdiagonale telles que A = PP et B = PDP. t 1−tExercice 1 [ 00025 ] [correction] b) Montrer que (detA) (detB) 6 det(tA + (1−t)B) pour tout t∈ ]0, 1[. ++Soient A∈S (R) et B∈S (R).nn Etablir qu’il existe une matrice P∈ GL (R) et une matrice D∈D (R) vérifiantn n Exercice 7 Centrale MP [ 02406 ] [correction]t tA = PP et B = PDP t ++SoitP ={A∈M (R),A + A∈S (R)}.n n a) Soit A∈M (R). Montrer que A∈P si, et seulement si, :n n t∀X∈R \{0}, XAX > 0Exercice 2 Centrale MP [ 02405 ] [correction] ++Soient A∈S (R) et B∈S (R).n n ++b) Soient A∈P et S∈S (R). Montrer, si λ est valeur propre complexe de SA,nMontrer que le polynôme det(A−XB) est scindé surR. que Reλ> 0. Exercice 3 Centrale MP [ 02398 ] [correction] ++Soient A et B dansS (R).n a) Montrer qu’il existe P∈ GL (R) et Δ∈M (R) diagonale à coefficientsn n diagonaux > 0 telles que t tA = PP et B = P ΔP b) Montrer que det(A +B)> detA + detB +c) Montrer que l’inégalité de b) subsiste si A,B∈S (R).n Exercice 4 Centrale MP [ 02407 ] [correction] ++Soient A et B dansS (R) telles que :n t t∀X∈M (R), XAX 6 XBXn,1 Montrer detA6 detB Exercice 5 Centrale MP [ 02402 ] [correction] ++Soient A∈S (R) et B∈S (R).nn Montrer que AB est diagonalisable.