Méthode N°30: Représentation matricielle en dim finie

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S27 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´REPRESENTATION MATRICIELLE EN DIMENSIONS FINIES Calculer le rang d’une matrice Le rang d’une matriceA est invariant par op´erations´el´ementairessur les lignes et sur les colonnes. Pour d´eterminer le rang de A 1 j’´echelonne A par la m´ethode du pivot de Gauss 2 le rang de A et de la matrice ´echelonn´ee ainsi obtenue co¨ıncident. Construire et utiliser la matrice repr´esentative d’une famille de vecteurs ´Etant donn´ee une base E de E et A = (~a ,...,~a ) une famille de p vecteurs de E , pour d´eterminer la matricen 1 p n A =M (A), repr´esentative de A dans la base E :E 2 je range les coordonn´ees de ces vecteurs en co-1 je d´ecompose~a , ...,~a dans la base E1 p lonnes pour avoir la matrice ~a = a ·~e + · · ·+a ·~e1 1,1 1 n,1 n   a a ... a1,1 1,2 1,p~a = a ·~e + · · ·+a ·~e2 1,2 1 n,2 n a a ... a 2,1 2,2 2,p  .  A = M (~a ,...,~a ) =. . . .E 1 p  . . . .. . . ~ap = a1,p ·~e1 + · · ·+an,p ·~en. a a ... an,1 n,2 n,p Exercice 1 : Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 etB = (~e ,~e ,~e ) une base de E. On pose~ε =~e +~e +~e ,1 2 3 1 1 2 3 ′~ε = 2~e −~e −~e et ~ε =−~e +2·~e −~e . Montrez que B = (~ε ,~ε ,~ε ) est une base de E.