Méthode N°29: Dimension finie

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S26 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE Calculer la dimension d’un espace vectoriel Soit E un K-espace vectoriel, F,G deux sous-espaces vectoriels de E,F une famille de vecteurs. Comment d´eterminer la dimension de E ◮ la m´ethode standard consiste `a appliquer le Th´eor`eme de la dimension 1 je construis une base de B = (~e ,...,...,~e ) de E.1 n 2 alors dimE = Card B =n. ◮ je connais ou je construis un isomorphisme de E vers un espace vectoriel de r´ef´erence F. Alors dimE = dimF. Comment d´eterminer la dimension d’un sous-espace vectoriel de E ◮ Si F est le sous-espace vectoriel engendr´e par une famille finie F de vecteurs, alors dimF = RgF. ◮ Point de vue ´equations : si F est d´efini comme le noyau d’une application lin´eaire : la Formule du rang peut ˆetre utile. ◮ Point de vue param´etrage : si F est d´efini comme l’image d’une application lin´eaire : la Formule du rang peut ˆetre utile. ◮ Si E =F +G s’´ecrit comme la somme de deux sous-espaces, j’applique le Th´eor`eme des quatre dimensions. Si de plus que F et G sont suppl´ementaires, alors dimE = dimF +dimG ◮ D’autres strat´egies au prochain chapitre pour d´eterminer le rang d’une famille F, d’une application lin´eaire.