Méthode N°28: Applications linéaires

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S25 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´APPLICATIONSLINEAIRES Reconnaˆıtre une application lin´eaire p n • jeconnaisd´eja`desexemplesc´el`ebresd’applicationslin´eaires:applicationslin´eairesdeK dansK canoniquement associ´ees `a une matrice A∈M (K), d´erivation des polynoˆmes dans K[X], etc...n,p • deplusl’ensembleL(E,F)desapplicationslin´eairesestunespacevectoriel,desortequetouteC-Ld’applications lin´eaires est aussi une application lin´eaire. Mais en r`egle g´en´erale, je montre que f pr´eserve les combinaisons lin´eaires : 221 soit (~x,~y)∈ E , (λ,μ)∈K . 2 je montre que f(λ·~x+μ·~y) = λ·f(~x)+μ·f(~y) C’est la m´ethode la plus courante. Elle est souvent tr`es simple `a mettre en œuvre. Image et noyau d’une application lin´eaire Comment d´eterminer le noyau d’une application lin´eaire Pour d´eterminer le noyau d’une application lin´eaire, je me rappelle qu’un vecteur ~x ∈ E appartient `a Kerf si et seulement si ~x est solution de l’´equation vectorielle : ~f(~x) = 0F 1 je traduis cette ´equation en coordonn´ees; 2 j’obtiens souvent un syst`eme d’´equations lin´eaires homog`ene que je r´esous graˆce `a l’algorithme de Gauss; 3 en collectant suivant les variables libres, j’obtiens aussi une famille g´en´eratrice de Kerf.