Méthode N°17: Suites numériques

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S18 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! LIMITED’UNEFONCTION ´Etudier l’existence de la limite d’une fonction ¯Soit f : I →R, a∈ I∪{±∞}. Comment montrer que f ne poss`ede pas de limite en a J’utilise la caract´erisation s´equentielle de la limite (sens ´el`eve). Il suffit d’exhiber : N ◮ une suite u = (u )∈ I telle que lim u = a et (f(u )) est divergente; ou bienn n n n→+∞ ◮ deux suites (u ) et (v ) telles que limu = limv = a et limf(u ) = limf(v ).n n n n n n n n n n Comment montrer que f admet une limite en a Il y a trois pistes possibles. J’utilise au choix : ◮ le th´eor`eme de la limite monotone; ◮ les th´eor`emes de comparaison; ◮ les op´erations i.e. op´erations alg´ebriques et composition. ´Etudier l’existence et calculer la valeur d’une limite par op´erations Comment se ramener au voisinage de 0 Tout d’abord, pour ´etudier la limite de f(x) quand x tend vers a, il est souvent pr´ef´erable de se ramener au voisinage de 0, par exemple pour utiliser les ´equivalents usuels, en effectuant le changement de variable (et donc aussi de ¯x = a+t et g(t) = f(a+t) si a∈ I fonction) ad´equat : .