Méthode N°15: Structures algébriques fondamentales

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+14 janvier 2012 ´TECHNIQUES & METHODES S13 Bis NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´STRUCTURESALGEBRIQUESFONDAMENTALES Lois de composition interne Comment ´etudier une lci? Pour ´etudier une l.c.i. ⋆ : E×E → E, vous devez : 0 v´erifier qu’il s’agit bien d’une l.c.i. : le compos´e x⋆y de deux ´el´ements de E appartient-il toujours `a E? 1 v´erifier si ⋆ est commutative; 2 v´erifier si ⋆ est associative; 3 v´erifier l’existence d’un ´el´ement neutre : s’il existe, il satisfait ∀x∈ E, x⋆e = e⋆x = x x⋆y = e 4 d´eterminer les ´el´ements inversibles x : ce sont ceux pour lesquels le syst`eme d’inconnue y ∈ E y⋆x = e admet une solution. Comment calculer les it´er´es d’un ´el´ement? Vous pouvez : 2 3• calculer x , x ; n• conjecturer l’expression de x en fonction de n∈N; • d´emontrer cette relation par r´ecurrence. Groupes Comment d´emontrer que H est un sous-groupe de G C’est la question basique. Pour y r´epondre, il s’agit de v´erifier d’apr`es la caract´erisation des sous-groupes que (SG ) • H =∅ (1 ∈ H)1 G 2 −1(SG ) • ∀(x,y)∈ H ×H, x.