Méthode N°11: Géométrie élementaire de l'espace

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+14 janvier 2012 ´TECHNIQUES & METHODES S10 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´ ´ ´ ´GEOMETRIE ELEMENTAIRE DE L’ESPACE Relations de d´ependance lin´eaire entre vecteurs Comment utiliser les propri´et´es essentielles des produits scalaires, vectoriels et mixte Soit ~u,~v,w~ trois vecteurs de E. On sait que • ~u et ~v sont orthogonaux si et seulement si (~u|~v) = 0. ~• ~u et ~v sont colin´eaires si et seulement si ~u∧~v = 0 • ~u,~v et w~ sont coplanaires si et seulement si Det(~u,~v,w~) = 0. NB : pour voir se deux vecteurs sont colin´eaires, c’est tr`es simple : leur coordonn´ees dans une base sont proportion- nelles! Comment calculer les trois produits Pour calculer les produits scalaire, vectoriel ou mixte, ~• le plus simple est de se placer dans une BOND (~e ,~e ,~e ) de E. En ce cas, si ~u,~v et w~ sont donn´es par1 2 3 ! ! ! u v w1 1 1 u v w~u ~v w~ , on a :2 2 2 u v w3 3 3 • ~u·~v = u ×v +u ×v +u ×v1 1 2 2 3 3 u v u v u v2 2 1 1 1 1 • ~u∧~v = ·~e − ·~e + ·~e1 2 3 u v u v u v3 3 3 3 2 2 u v u v u v2 2 1 1 1 1 • Det(~u,~v,w~) = ·w − ·w + ·w1 2 3 u v u v u v3 3 3 3 2 2 Nb : pour le calcul du d´eterminant, pr´eferez le d´eveloppement en ligne ou en colonne `a la r`egle de Sarrus.