Méthode N°10: Coniques

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S09 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! CONIQUES ´Equations cart´esiennes des coniques Comment obtenir une ´equation cart´esienne d’une conique? Tout d´epend de la d´efinition de la conique Γ! ◮ Si Γ est d´efinie par un foyer F, une directrice D et son excentricit´e e, on traduit en coordonn´ees cart´esiennes la d´efinition monofocale : d(M,F) =ed(M,D). ′◮ Si Γ est une ellipse d´efinie par ses deux foyersF, F et son grand axe 2a, on traduit analytiquement la d´efinition ′bifocale d(M,F)+d(M,F ) = 2a. ′◮ Si Γ est une hyperboleH donn´ee par ses deux foyers F, F et son axe focal 2a, on traduit en coordonn´ees la ′d´efinition bifocale|d(M,F)−d(M,F )|= 2a. Comment obtenir une ´equation cart´esienne de la tangente 2 2Soit Γ la courbe d’´equation ax +bxy +cy +dx+ey +f = 0, ou` (a,b,c) = (0,0,0). La tangente `a Γ au point M (x ,y ) a pour ´equation cart´esienne0 0 0 b d eaxx + (xy +x y)+cyy + (x+x )+ (y +y )+f = 00 0 0 0 0 02 2 2 Cette ´equation est obtenue a` partir de l’´equation de Γ par «d´edoublement des termes» : 2 2• x et y sont remplac´es dans l’´equation de la tangente en M par xx et yy ;0 0 0 1 1• x et y sont remplac´es dans l’´equation de la tangente en M par (x+x ), (y +y );0 0 02 2 1• xy est remplac´e dans l’´equation de la tangente en M par (xy +x y).