Méthode N°09: Courbes planes

MPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+15 novembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S08 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´ ´COURBES PLANES PARAMETREES (I) ´Etude d’une courbe param´etr´ee en coordonn´ees cart´esiennes On consid`ere l’arc plan d´efini par le syst`eme d’´equations param´etriques en coordonn´ees cart´esiennes : x = x(t) t∈ I y = y(t) R´eduction de l’intervalle d’´etude • P´eriodicit´e si x et y sont p´eriodiques de p´eriode commune T > 0, alors les points M(t + T) et M(t) sont confondus : on restreint l’´etude `a un intervalle de longueur T, et on a l’int´egralit´e de la courbe. • Parit´e si I est sym´etrique par rapport `a 0 et : + ◮ si x est paire et y est paire, alors M(t) et M(−t) sont confondus : on restreint l’´etude `a I∩R et on a l’int´egralit´e du support; ◮ si x est paire et y est impaire, alors M(t) et M(−t) sont sym´etriques par rapport `a (Ox) : on restreint +l’´etude `a I∩R et on compl`ete par sym´etrie par rapport `a (Ox); ◮ si x est impaire et y est paire, alors M(t) et M(−t) sont sym´etriques par rapport `a (Oy) : on restreint +l’´etude a` I∩R et on compl`ete par sym´etrie par rapport `a (Oy); ◮ si x est impaire et y est impaire, alors M(t) et M(−t) sont sym´etriques par rapport `a O : on restreint +l’´etude `a I∩R et on compl`ete par sym´etrie par rapport `a O.