Méthode N°04: Fonctions numériques, rappels

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S03 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! ´ETUDEDEFONCTIONS Le plan d’´etude d’une fonction est comme suit : 1 Ensemble de d´efinition, ensemble d’´etude ´2 Etude de la continuit´e (si n´ecessaire) ´3 Etude de la d´erivabilit´e (si n´ecessaire) 4 Variations ´5 Etude des limites aux bornes de l’ensemble de d´efinition 6 Trac´e de la courbe repr´esentative Γ .f Domaine de d´efinition et domaine d’´etude Domaine de d´efinition La fonction `a ´etudier est construite `a par op´erations, a` partir de fonctions usuelles. Vous en d´eduisez le domaine de d´efinition D de f. En g´en´eral, les th´eor`emes ”OPA” sur les fonctions continues ouf d´erivables permettent directement `a la continuit´e et `a la d´erivabilit´e de f. ∞Exemple : f(x) = ln[x(x−1)] est d´efinie et de classeC sur ]−∞,0[∪[1,+∞[. Domaine d’´etude Lorsque f est T-p´eriodique, on peut restreindre l’´etude a` un intervalle de longueur T, par exemple D ∩[0,T[, etf compl´eter par sym´etrie. Il est possible de restreindre le domaine d’´etude lorsque f est paire, impaire. Plus g´en´eralement, s’il existe a∈D telf que ⊲ si pour tout x, f(2a−x) =f(x), alors la droite d’´equation x =a est axe de sym´etrie de Γ . On peut restreindref l’´etude `a D ∩[a,+∞[ et compl´eter ensuite par sym´etrie.