Méthode N°02: Nombres complexes et trigonométrie

erMPSI du lyc´ee Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr semaine du 3+1 septembre 2011 ´TECHNIQUES & METHODES S02 NB : cette fiche reprend les techniques n´ecessaires minimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis! NOMBRESCOMPLEXES Notations alg´ebriques & exponentielles Un nombre complexe peut ˆetre pr´esent´e sous forme alg´ebrique ou exponentielle. Je passe sans probl`eme d’une ´ecriture a` l’autre : Comment passer d’une notation alg´ebrique en notation exponentielle 1 je d´etermine le module ρ =|z| de z. z 2 le nombre complexe z/ρ est un nombre complexe de module 1. Il s’´ecrit donc = cosθ+isinθ. Je reconnais θ. ρ Comment passer d’une notation exponentielle `a une notation alg´ebrique iθ iθJ’utilise la formule e = cosθ+isinθ, de sorte que ρe = ρcos(θ)+iρsin(θ) √ 5(1−i 3) √ −11iπ/12Exercice 1 : mettre sous forme exponentielle z = r´eponse : z = 8 2e 3(1−i) Application des nombres complexes `a la trigonom´etrie Il y a deux points de vue, vous pouvez au choix, effectuer vos calculs dans C en utilisant les formules d’ Euler, Moivre et de Newton, ou bien rester dans R et utiliser les formules de trigonom´etrie. Plus pr´ecis´ement Lin´earisation Pour transformer un polynˆome en cos et sin, vous pouvez utiliser les formules de lin´earisation, ou bien • exprimer sinθ ou cosθ avec les formules d’Euler. n n• appliquer la formule du binoˆme de Newton pour obtenir l’expression de cos θ ou de sin θ comme une somme iθde puissances de e .