Exercices d’algèbre linéaire - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Espaces vectoriels et applications linéaires : indications et réponses

exercices-cpge - Catherine Laidebeure

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Ces exercices d'algèbre linéaire, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Systèmes d’équations linéaires (2) Matrices (3) Espaces vectoriels et applications linéaires (4) Réduction des endomorphismes et des matrices. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

Sujets

Classe préparatoire aux grandes écoles

Cours

Public Readiness and Emergency Preparedness Act

exercices

Algèbre linéaire

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Publié par	exercices-cpge
Publié le	01 janvier 2012
Nombre de lectures	115
Licence :	En savoir + Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue	Français

Extrait

Algèbre linéaire 1 Réponses et Indications (Espaces vectoriels et Applications linéaires) Exercice 1 1) (0,0,0,0)∈FetFest stable par combinaison linéaire. − + + =x 2) v3=(2,1,0,−1) etv4=(3,0,1,−5) carxx3yy82ztzt00⇔t=−=2yy−+53zz. − − − = 3) (v1,v2 libre (non colinéaires).) est 4) u∈G⇔ ∃(α,β)∈2u= αv1+ βv2. G=(x,y,z,t)∈4/x−2y+z=0 et 3y−2z−t=0 . 5) (v1,v2,v3,v4) est une famille libre de 4 vecteurs dans4(dimension 4). Exercice 2 1) La matrice nulle appartient àF (a=b= et0 )F est stable par combinaison linéaire. M=−1 1. 2) M3=1211et41 3 3) La famille (M1,M2 libre.) est M∈G⇔ ∃a b∈= +. Don∈ 4) ( , )2M aM1bM2cG=abaa−b/ (a,b)2. 5) (M1,M2,M3,M4 une famille libre de 4 vecteurs dans) est2( 4).) (dimension Exercice 3 1) Le polynôme nul appartient àF etFest stable par combinaison linéaire. 2) F=X(X−1)(aX+b) / (a,b)∈2. DoncQ3(X)=X2(X−1) etQ3(X)=X(X−1) . 3) La famille (Q1,Q2) est libre. 4) G=aX3+bX2+(a−b)X+(a+b) / (a,b)∈2. 5) (Q1,Q2,Q3,Q4) est une famille libre de 4 vecteurs dans3[X] (dimension 4). ercice 4 Ex 1) La suite nulle appartient àF etFest stable par combinaison linéaire. 2) un=2u0−u1+2n(u1−u0 Récurrence linéaire d’ordre 2 d’équation caractéristique) . x2−3x+2=0 , de racines 1 et 2. 3) ∀n∈vn=2−2netwn=2n−1 car :∀n∈un=u0vn+u1wn. 4) la famille est libre puisqu’on sait qu’elle est génératrice.Il suffit de montrer que αv0+ βw0=0 αv+ βw=0⇔ ∀n∈αvn+ βwn=0 , doncαv+ βw=0β =. αv1+w10

Exercice 5 1) La fonction nulle appartient àF etFest stable par combinaison linéaire. 2) xeaxappartient àFssiα2= Donc1 .∀x∈f1(x)=exetf2(x)=e−x. 3) αf1+f2=0⇔ ∀x∈αf1(x)+f2(x)= donc0 ,αf1+ βf2=0ααff11)01()(+β+βff220()(1)==0 .0 4) h(x)= αe2x,g(x)=ae2x+betf(x)=aex+be−x. 5) f1etf2forment une famille génératrice deF(et libre). Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012