Exercices d’algèbre linéaire - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Matrices : énoncés
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Exercices d’algèbre linéaire - 1ère année de CPGE économique et commerciale, voie ECS, Matrices : énoncés

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Description

Ces exercices d'algèbre linéaire, accompagnés d'indications et de réponses, sont divisés en 4 parties : (1) Systèmes d’équations linéaires (2) Matrices (3) Espaces vectoriels et applications linéaires (4) Réduction des endomorphismes et des matrices. Les étudiants sont invités à chercher suffisamment les exercices avant de consulter les indications et réponses.

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Publié par
Publié le 01 janvier 2012
Nombre de lectures 267
Licence : En savoir +
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Langue Français

Extrait

Algèbre linéaire

1

MATRICES


Exercice 1 (d’après ESLSCA 99)
On considère les ma
trices :A=121022−113 I=001101000 P=−011−−122−−121.
Partie A

1) Calculer les matricesA2etA3.
2) Déterminer des réelsa,betctels queA3=aA2+bA+cI.
3) En déduire que la matriceAest inversible et calculer son inverse.
4) En déduire e :x−z=2
la résolution du systèmx2x++22yy++z3=z8= 31.
Partie B
1) Montrer (par la méthode de Gauss) que la matricePest inversible et calculer son
inverse.
2) Calculer la matriceB=P−1AP. En déduireBnpourn∈.
3) Montrer que :∀n∈An=PBnP−1.
4) En déduire la matriceAnpourn∈.
Partie C
L’objectif de cette partie est de déterminer l’ensemble des matricesMappartenant
à3() qui commutent avecA, c’est-à-dire qui vérifient :M=A.
1) Montrer que l’ensemble la matrice nulle, les matrices contientIetA−1, ainsi
que toutes les puissancesAnde la matriceApourn∈* .
2) Montrer que siMetN alors ,sont deux matrices qui appartiennent à l’ensemble
les matricesM+NetMN .appartiennent à l’ensemble
3) Montrer que siMmatrice inversible qui appartient à l’ensemble une est alors ,
son inverse−1 .appartient à l’ensemble
4) Montrer qu’une matriceM siappartient à l’ensemble et seulement si la matrice
'=P−1Pcommute avec la matriceD=200030001.
5) Démontrer que les seules matrices qui commutent avecD les matrices sont
diagonales.
6) En déduire la forme générale des matricesMqui appartiennent à l’ensemble .
Exercice 2

On considère la suite (un) définie paru0=3 ,u1=1,u2= −1 et :
∀n∈un+3=5un+2−8un+1+4un

On pose :∀ ∈=unn++21et=111211384
n XnunP.
u
1) Montrer qu’il existe une matriceAtelle que :∀n∈Xn+1=AXn.

Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012

Algèbre linéaire 2

2) En déduire que :∀n∈Xn=AnX0.
3) Montrer que la matricePest inversible et calculer son inverse.
4) Montrer que la matriceT=P−1AP se décompose en somme d’une matriceD
diagonale et d’une matriceJqui a un seul élément non nul.
5) En déduireTnpour tout entier natureln.
6) Montrer que :∀n∈An=PTnP−1.
7) En déduireAnpour tout entier natureln.
8) En déduire l’expression du terme généralunen fonction den.

Exercice 3 (d’après HEC 98 voie T)
Partie A : Dérivées successives d’une fonctionf
On considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxpar :f(x)=(x2+x+1)e−x.
1) Calculer les dérivées d’ordre 1 et d’ordre 2 de la fonctionf.
2) Montrer par récurrence que pour tout entierp≥ il existe des réels1 ,ap,bpetcp
tels que :∀x∈f(p)(x)=(apx2+bpx+cp)e−x.
3) Exprimerap+1,bp+1etcp+1en fonction deap,bpetcppour tout entierp≥1 .
Partie B : Puissances d’une matrice
I0 1 e=2−1 0
On considère les matrices=0011000tA−1 0 0.
0 1−1
1) CalculerJ=A+I,J2etJ3, puisJppour tout entierp≥3 .
1p(p−1)J
2) En déduire que :∀p≥2Ap= (− )pI−pJ+22.
3) En déduire la matriceppourp≥2 . La formule est-elle encore vraie pourp=1 ?
Partie C : Retour aux dérivées def

1) Montrer par récurrence que pour tout entierp≥1 :abcppp=Ap111.
2) En déduireap,bpetcp, puis l’expression def(p)(x fonction de) enpet dex.

Exercice 4 (d’après Ecricome 2003 voie E)
On considère les matrices :
1 0 0
I
A=013−202032 P=101101211 T=002110002 =010001

Partie A : Inversion de la matriceP
1) CalculerP2etP3.
2) Démontrer qu’il existe des réelsa,betctels que :P3=aP2+bP+cI.
3) En déduire que la matricePest inversible et calculer son inverseP−1.
4) Vérifier le calcul deP−1par la méthode de Jordan-Gauss.
Partie B : Puissances de la matriceA
1) Calculer la matriceP−1AP.
2) Démontrer queTest somme d’une matrice diagonaleDet d’une matriceJqui n’a
qu’un seul élément non nul.
3) En déduire la matricepour tout entier natureln.

Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012

3

Algèbre linéaire

4) Démontrer que :∀n∈An=PTnP−1.
5) En déduire la matriceAnpour tout entier natureln.
Partie C : Commutant de la matriceA

On appelle commutant d’une matriceA des matrices l’ensembleM qui commutent
avec la matriceA:(A)= {M∈3() /AM=MA}.
1) Démontrer que siMet ' deux éléments de sont (A) , alors+' etM'
appartiennent aussi à (A) .
2) SoitMune matrice carrée d’ordre 3 etQ=P−1MP. Démontrer queM=Asi
et seulement siTQ=QT.
3) Démontrer qu’une matriceQcarrée d’ordre 3 vérifieTQ=QT si et seulement si
a0 0
il existe des réelsa,betctels que :Q=0b c.
0 0b
4) En déduire la forme générale des matricesMqui appartiennent à (A) .
5) En déduire qu’il existe trois matricesK,LetNque l’on précisera telles que :
(A)=aK+bL+cN/ (a,b,c)∈3
Exercice 5 (d’après Ecricome 99 voie S)
4 1− 0 02 1
On définit les matrices :M=−221112001141−−1002,V=1 2−1etI=011000.
2 1 0
1) SoientHetH' deux matrices carrées d’ordre 4 écrites sous forme de blocs :
a
=
H=C1AOavecO=(0 0 0),CcbetA=(ai,j) dans3() .
1O'
'
H=avecO=(0 0 0),C'=cab''etA'=(a'i,j) dans3() .
C'A'
HH1OC"=C+AC'
Montrer que leur produit s’écrit par blocs : '=C"AA'avec .
2) Montrer que, pour toutn∈* , il existe une matrice colonneUn à trois lignes
1O
telle que :Mn=UnVn.
3) On poseW=V−2I. Pour toutn∈* , calculerWnet en déduireVn.
4) On pose :=nnet . Calculer , puis . En déduire ,
UnabcnX=−114XnX an
−1
bnetcn, puis l’expression den.

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Algèbre linéaire 4

Exercice 6 (EM Lyon 2009 voies E et S)
L’objectif du problème est d’étudier sur des cas particuliers et par diverses méthodes
la notion de racine carrée d’une matrice.
Une matriceR∈n() est une racine carrée d’une matriceA∈n() si2=A.

Exercices de Mathématiques ECS1 - Catherine Laidebeure - 2012

Algèbre linéaire 5

Partie A
etcosθsinθ. Calculer (Rθ)2 en déduire que la et
1) Soitθ réel unR
θ=sinθ −cos&

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